我眼中的菲尔兹奖得主——caucher birkar
剑桥大学的caucher birkar教授最近获得了数学界的最高荣誉——菲尔兹奖，获奖工作包括对bab猜想的证明（fano簇的有界性）以及在极小模型纲领（minimal model program）中的贡献。意外的是，他的奖章在获奖半小时后即遭失窃，他也因此成为历史上第一个被两次授予菲尔兹奖奖章的人。作为一个在两伊战争中走出来的“少数裔”获奖者，他的菲尔兹奖之路充满了荆棘。我和birkar教授有一定的接触，仅以此文来介绍这位数学家与他的获奖工作。
撰文 | 韩京俊
编辑 | 金庄维
初“识”birkar
第一次听到birkar教授的名字，应该是在我博士一年级的时候。当时我开始学习代数几何不久，听说我们方向几年前有一篇很经典的文章，被誉为是双有理几何、乃至代数几何近20年最大的进展之一。这篇文章解决了极小模型纲领中一个重要的公开问题。出于好奇，我打印了文章，想一探究竟。
这篇文章简称bchm，是四位作者姓名首字母的缩写（birkar-cascini-hacon-mckernan）。除birkar教授外的另三位作者也都是非常出色的数学家。paolo cascini是英国帝国理工学院的教授。christopher hacon是美国犹他大学的杰出（distinguished）教授，同时还是美国国家科学院和美国艺术与科学学院院士。james mckernan是美国加州大学圣地亚哥分校的教授。hacon和mckernan此前因为bchm等工作获得过美国数学会cole奖、奖金额度为300万美元的数学突破奖（breakthrough prize in mathematics）等殊荣。
刚打开这篇文章，我就被它的长度惊到了：全文长达64页！再仔细一看，为证明文章的主要定理，共需要证明六个看似毫无联系的辅助定理。这六个辅助定理的证明需要用数学归纳法进行互推，例如小于等于n-1维的定理d，小于等于n维的定理b以及小于等于n维的定理c可推出小于等于n维的定理d。
（图源：论文原文）
这刷新了我对数学的认知。大家在高中都接触过数学归纳法，但如此复杂的归纳，让我不禁怀疑自己以前学的是“假的”数学。文章的证明用到了许多高深的数学，彼时处于一年级、仍在学教科书的我难以企及。但既然是我们领域最经典的文章之一，我暗下决心，一定要在博士阶段读懂它。
学习的道路并不是一帆风顺。在博士前两年学习了足够的基础知识后，在第三年我终于可以开始研读bchm。我曾天真的认为，即使每天读一页，两个多月也能读完bchm了。但直到一整个学年结束，我才勉强领会bchm证明中的技术细节。证明的高度抽象与复杂，以及对证明动机的不了解，曾一度使我陷入困境。在这期间，我还在网上观看了birkar讲解bchm的系列讲座视频。这对我理解证明的帮助很大，也让我对birkar有了一种亲近感。
bchm中的数学
（小赛提示：不在意细节的读者，请直接跳过这一节）
要解释清楚bchm大概证明了一件什么事，就有必要先来介绍一下代数几何，特别是极小模型纲领。代数几何是一门研究多项式方程组解的几何性质的数学分支。我们一般用“代数簇”来指代多项式方程组的解。一般地，代数簇的性质取决于变量的取值范围。例如研究代数簇xn yn=zn，当n>=3时，上述方程即为著名的费马大定理，是没有正整数解的。
代数几何或者说复代数几何，主要研究变量取值为复数的多项式方程。代数基本定理告诉我们，一元d次多项式一定有d个复根，但未必有实根。因此研究方程的复根往往要比研究实根更容易。数学上研究一类对象常用的手段是对这类对象进行分类，将有类似性质的对象归为同一类。
代数几何的一个主要课题是将代数簇（复根）在双有理等价下进行分类，并在每一类中找出“最简单”的代表。通俗地说，如果两个代数簇在绝大多处是一样的，我们就称这两个代数簇是双有理等价的。例如，双曲线xy=1与x轴（y=0）之间可建立如下对应：当t不等于0时，(t,1/t) 到 (t,0) 是一一对应的。因此该双曲线和x轴是双有理等价的，尽管定义它们的方程并不相同。作为一个练习，读者可思考抛物线与x轴是否是双有理等价的。（后台回复“练习答案”查看解答）
在双有理等价意义下，将一维的代数曲线进行分类比较容易。对于曲面，下图中的两个对象是双有理等价的。除去原点外，下图中的平面（plane）和上面的图形有一个一一对应关系，而原点的原像是一条直线（用加粗的黑线标出）。
平面上blow up原点（图片由作者提供）
我们称上面的图形是由平面blow up原点得到，或者说上面的图形blow down后可得到平面，显然blown down后得到的平面在几何上是更简单的对象。关于blow up，在数学圈有一个广为流传的笑话：两个数学家在机场讨论时提到blow up 9 nine points on the plane（在飞机上爆破九个点），然后就被当作恐怖分子抓了起来。
早在20世纪初，意大利代数几何学派就研究了曲面的双有理分类。他们证明了任何一个曲面都可以通过不停地进行blow down这种操作，最后得到一个“极小曲面”。这种“极小曲面”由局部弯曲程度相同（常曲率）的同一类几何对象拼接而成。几何上根据弯曲程度的不同，有三类基本的对象：fano簇（正曲率）, calabi-yau簇（平坦）和一般型簇（负曲率）。这三类几何对象中，三角形内角和分别大于180度、等于180度、小于180度，因此它们的几何性质有很大区别。
我们可以认为，曲面的双有理分类至此就完成了。要将曲面上的方法推广到高维，是不容易的。直到上世纪80年代，日本数学家mori（森重文）等人系统地研究了三维代数簇的情形，mori发现除了需要引入推广的blow down操作外，还需引入另一个新的操作——flip。mori提出了高维时双有理意义下分类代数簇的方案：对一个给定的代数簇，我们必能对其进行推广的blow down操作或flip操作，在有限次操作后，我们能得到一个几何上的“极小模型”。这就是极小模型纲领，也被称为mori纲领。
极小模型纲领有两大难题：flip操作的存在性以及这一操作是否在有限次后终止。三维flip的终止性是相对容易证明的。1988年，mori证明了三维flip的存在性，也因在极小模型纲领上的贡献被授予1990年的菲尔兹奖。在80年代，双有理几何，特别是极小模型纲领迅速发展，mori获得菲尔兹奖可看作是这一领域达到了一个新的高度。然而如同事物发展的盛极必衰，此后，极小模型纲领的发展陷入了长期的停滞。
直到2010年，birkar与cascini、hacon、mckernan合作，在俄罗斯数学家vyacheslav shokurov之前的工作与想法的基础上，证明了高维flip的存在性。目前，flip的终止性仍是极具挑战的问题。
早期学术生涯
那么，birkar是如何走上极小模型纲领的研究之路的？这里我想花费一些篇幅来介绍一下birkar的早期学术生涯与他的导师shokurov。
birkar本科就读于伊朗的德黑兰大学，作为伊朗少数族裔的库尔德人，常常受到政治上的压迫。在大四时，他到英国寻求政治庇护。此后，他被诺丁汉大学录取，他的导师是从事数论研究的ivan fesenko。然而birkar的兴趣点在代数几何，因此他自学了双有理几何方向的知识，并试图参加一些该方向的学术会议。在2002年剑桥大学举办的会议上，他认识了约翰霍普金斯大学的shokurov教授。
shokurov教授（图源：wikipedia）
shokurov是彼时少数仍专注于极小模型纲领研究，而没有放弃的人。经过长时间思考，他有了很多原创性想法。在1992年与2002年，他分别独立完成了两篇长达100多页的高质量论文，引入了很多新想法，为极小模型纲领的研究注入了新的活力。有专家认为，近十多年双有理几何的复兴与他的努力有很大联系。
shokurov是一个淡泊名利的人，给人一种世外高人的印象。他的文章常用俄文撰写，往往发表在不那么知名的期刊上。文章中使用的定义与记号也常与别人不同，加之独特的行文风格，即使是该领域最顶级的专家也往往很难领会要点。2002年剑桥大学的会议即是专家们为尝试理解他在当年发表的那篇“重量级”论文而举办的，参会人中就有hacon、mckernan。该会议间接促成了此后bchm这项杰出工作的诞生。
shokurov在和birkar交流后，便很快意识到，birkar是一位极具天赋且能担起复兴双有理几何大任的年轻人。此后，birkar赴约翰霍普金斯大学跟随shokurov学习双有理几何一学期，shokurov也就很自然地成为了birkar实际上的导师。
bab猜想
（小赛提示：不在意细节的读者，请直接跳过这一节）
2016年，birkar在预印本网站arxiv上贴出了两篇总共长达130多页的论文，证明了bab猜想，也即fano簇的有界性。这是他本次获奖最主要的工作。通俗地说，他证明了给定维数且曲率为正的所有代数簇可以被有限个参数表示出来，故而这类代数簇之间是有一些内蕴联系的。
我们用一个具体的例子来说明参数化的含义。通过原点的直线虽然有无穷多条，但它们被直线的斜率所唯一决定，因此可用斜率这个参数表示出所有这样的直线。随着斜率的变化，我们可将其中一条直线连续地变化为另一条。
而birkar的工作揭示：对看似杂乱无章的fano簇，我们可将它们分为有限组，对每一组中的fano簇，我们可通过连续变化的方式将其中任意一个变为另一个。
2016年birkar在arxiv上贴出的两篇总共长达130多页的论文（图源：arxiv）
bab猜想由borisov兄弟与alexeev于上世纪90年代初分别独立提出，曲面的情形由alexeev于1994年解决，此后一直未有大的进展，甚至连三维的情形都是未知的。我国青年学者江辰曾率先解决了弱化版本的三维bab猜想。
birkar从博士阶段就开始研究bab猜想，前后经历约12年。值得注意的是，他的这两篇文章还未被杂志正式接受。他的证明建立在许多前人的工作基础之上，如bchm、hacon-mckernan-许晨阳关于一般型代数簇有界性的系列工作、shokurov等人关于complement的工作，以及他本人近年来引入的generalized pairs等工具。从技术的角度，bab猜想的证明可看作是双有理几何近十多年发展达到的一个顶峰。
我眼中的birkar
birkar在预印本网站上贴出第一篇文章时，我正在美国普林斯顿大学交流访问。我的导师许晨阳教授当天就给我发了邮件，提及这篇文章。他认为这是一个很好的工作，因而引起了我的注意。
birkar贴出第二篇文章后，我和中科院的陈亦飞副研究员以及数学中心的博士后李展等人组织了一个讨论班，专门研读他的文章，前后总共花费了约半年的时间。那时的我正值博士第四年，在学术上还未有进展，将大量时间与精力投入在读论文而非做研究上，是有风险的。
17年春季，birkar组织了一个国际研讨会，解读他关于bab猜想的证明。我有幸被他邀请为报告人，讲解文章中的一节。在准备报告时，我发现证明中的某些小步骤有更简单的证明方式。美国数学会将就此次研讨会内容出版一本书，详细解释birkar关于bab猜想的证明。我和江辰有幸为这本书中的两个章节撰稿，并给出部分定理的简化证明。
在那次会议上，我和birkar教授有了第一次近距离的接触。我还清楚地记得，当我问及他是否有考虑过文章中涉及田刚关于alpha不变量的一个公开问题的一般情形时，他当着众人的面，微笑地答道：“i left it to you.”可惜我资质愚钝，对于这个问题至今仍未取得任何进展。
解读“bab猜想”证明的会议上，作报告前，birkar教授在介绍韩京俊（本文作者）。（图片由作者提供）
自那以后，我和birkar在学术会议上又有过几次接触。今年五月，我有幸获得birkar教授的邀请与导师资助，赴剑桥大学访问并作学术报告。在访问期间，我们就一些研究课题进行了较为深入的探讨。他还热情地邀请我参与他组织的足球赛，去他家聚餐等等。在那时，他其实已经知晓了自己将获得菲尔兹奖，但仍保有一贯的低调。宠辱不惊或许也是他的成功之道吧。
birkar对挑战那些困难问题的决心，以及面对困难时的坚持和乐观给我留下了深刻的印象。在菲尔兹奖章被盗，birkar被二度授予奖章后，他开玩笑似地说：“我想我打破了奖章最快被盗的记录，奖章被盗的副作用是我变得更出名了，我认为现在知道菲尔兹奖的人数要大大多于上周。奖章只是一种装饰，奖励在任何时候都没有被盗走。在我的生活中，我看到过许多更糟糕的事情。和这些事情相比，奖牌被盗就像一个笑话。如果我为这么小的事情沮丧，我就不可能站在今天的讲台上。”
birkar的中国情结
birkar是一个有中国情结的数学家。他曾多次到访中国，去年暑假他曾访问过北京国际数学研究中心，参加“stability, boundedness and fano varieties”国际会议并作了系列学术报告，讲解bab猜想的证明。去年底他还访问过清华大学。
birkar有很多来自中国的合作者，如他的师弟陈亦飞副研究员、他曾经的博士后胡正宇博士，及他现在唯一在读的博士许晏宁等。当我问及他有何话想寄语中国读者时，他在邮件中写道：
i have visited china several times, many of my collaborators are chinese, and i have close relation with both young and top chinese mathematicians. i think chinese mathematics is growing very very strong and the talent available is really immense.
（我曾多次到访中国，我的很多合作者也是中国人，他们中间既有年轻的学者，也有资深的数学家。我认为中国的数学正变得非常强大，并且出现了大量人才。）
caucher birkar在北京国际数学研究中心作报告。（图源：北京国际数学研究中心）
birkar在学术上的工作对我博士阶段的研究影响是很大的。我在博士阶段完成的数篇论文或是建立在他的论文基础之上，或是受到了他工作的启发。如今，我也即将赴约翰霍普金斯大学，跟随shokurov继续从事双有理几何特别是极小模型纲领的研究。前途未知，或许我们领域即将迎来又一个冬天，但路在脚下。希望自己能一步一个脚印，踏踏实实地走完未来的每一天。
本文的写作过程中，得到了caucher birkar、陈亦飞、江辰与夏昕鸣的帮助，在此致谢。
文章头图及封面图片来源：marcos arcoverde / icm2018
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