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图1 以色列科学家亚基尔·阿哈罗诺夫和英国科学家麦克·贝里 | 图源：维基百科和physics.ucdavis.edu/

图2 迈克尔·贝里和他研究的“磁悬浮青蛙” | 图源：wikiwand.com/en/ig_nobel_prize

上世纪60年代是量子理论中高能粒子物理及标准模型等蓬勃发展的时期，阿哈罗诺夫和玻姆，却没有追踪这个热门浪潮，孤独地扑在两个基本物理量（“力” 和 “能量”）的关联上，提出了一个意义深刻的思想实验 [2]。电磁理论中的电标势φ和磁矢势a，真的只是数学工具，没有 “真实” 物理意义吗？他们认为，问题最终应该由实验来回答。

图3 磁ab实验示意图

那么，什么时候洗澡水中会有小孩（几何相位因子）呢？

图4 矢量平行移动一周后的变化（a）平面（b）球面

图5 磁ab效应中通电线圈引起的相位因子φ

图6 单连通和多连通。如果一个区域中的任何一条闭曲线，都能连续地收缩到区域中任何一点，此区域便被称为单连通的。以下图的二维图形为例，图a淡蓝色图形中的任何曲线，例如与图中那条从b出发、到c、再回到b的类似曲线，都可以连续地变小而收缩到任何点。这说明那块淡蓝色图形是 “单连通” 的。但是，如果在这个区域中挖一个或几个洞，成为像图b所示的淡蓝色区域，情况便会有所不同。如果区域中的某条闭合曲线，有 “洞” 被包围其中的话，就不可能连续收缩到一个点了。这种图形空间便成为“多连通”的，也就是拓扑非平庸的了。

不过，刚才我们经常说到的 “空间”，则远远不是仅限于我们生活于其中的三维空间了。量子理论中 “空间” 的概念是多样化的，可以是真实的四维时空，也可以是相空间、晶体的倒格子空间、布里渊区，以及所谓系统的内禀空间，包括自旋空间、描述系统哈密顿量的参数空间、波函数的希尔伯特空间等等。到底需要考虑哪个空间的几何拓扑性质，必须根据具体问题而具体分析。

[1] quantized hall conductance in a two-dimensional periodic potential，d. j. thouless, m.kohmoto*, m. p. nightingale, and m. den nijs，phys. rev.lett. 49, 405–408 (1982)。

[2 aharonov, y.; bohm d. (1959)."significance of electromagnetic potentials in quantum theory". phys.rev. 115: 485-491.

[3] 作者科学网博文《走近量子纠缠》- 杨氏双缝电子干涉实验：

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092

[4] osakabe, n., t. matsuda, t. kawasaki, j.endo, a. tonomura, s. yano, and h. yamada, "experimental confirmation ofaharonov-bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." phys rev a. 34(2): 815-822 (1986).

[5] chen-ning yang，einstein's impact on theoretical physics，physics today 33, 6,42 (1980)

[6] m. v. berry (1984). "quantal phasefactors accompanying adiabatic changes". proc. r. soc. lond. a 392 (1802):45–57.

[7]《简单物理系统的整体性：贝里相位及其他》，李华钟著，上海科学技术出版社，1998。