兰姆位移与重整化 | 量子群英传
汉斯·贝特，图源[1]
撰文 | 张天蓉
责编 | 宁茜 吕浩然
你可能没听过我们这一节中的主角：第一次使用重整化方法的汉斯·贝特（hans bethe，1906-2005）的名字。他是出生于德国的犹太人，祖父母都是医生，父亲研究生理学，母亲是儿童作家和音乐家。
贝特于98岁的高龄去世，在职业生涯的大部分时间里，除了在洛斯阿拉莫斯的那几年，他都是康奈尔大学的教授。那段时期，和众多因战争逃到美国的犹太裔德国物理学家一样，贝特参加了秘密的曼哈顿计划（manhattan project）。并且，正是因为贝特在核物理界的成就和威望，他受罗伯特·奥本海默（julius robert oppenheimer，1904 -1967，曼哈顿计划的领导者）之命，负责原子弹研发的理论物理研究，为制造原子弹作出了重要贡献。后来，贝特、爱因斯坦和原子科学家紧急委员会开展了反对核试验与核军备竞赛运动。他帮助说服肯尼迪和尼克森政府分别签署了1963年《部分禁止核试验条约》（partial test ban treaty， ptbt）和1972年《反弹道导弹条约》（treaty on the limitation of anti-ballistic missile systems，abm）。
在洛斯阿拉莫斯期间，他提拔了当时才二十出头的年轻人理查德·费曼（richard feynman ，1918-1988）。有一个以他们两人命名的计算核武器效率的公式：贝特－费曼公式（bethe–feynman formula），就是他们合作的成果。
我们这一节的故事，是贝特、费曼，还有其他几位物理学家共同努力解决量子场论中的无穷大问题。所以，我们就从量子场论中无穷大的困难说起。
无穷大问题
狄拉克（paul adrien maurice dirac，1902 -1984）1927年的文章中，将电磁场量子化，目的是为了解释爱因斯坦在1916年提出的原子自发辐射问题。一个孤立原子，不可能自动地辐射原本不存在的光子。引进了场论的观点后，真空不空，而是成为了光子场的基态，这样就能将自发辐射看做真空对原子相互作用的结果。在具体计算中，只能用微扰论来计算这种相互作用。实际上，量子电动力学，本来就是电磁量子真空态的微扰论。
如上一篇中所述：在粒子数表象中，光子场系统的总能量可以表示为：
公式中n是光子数。什么是真空态呢？真空态是可以由我们自己定义的。因为我们讨论的是光子场，所以最合适的真空定义是所有（频率）的光子数都为0。但是从上式中可见，n=0的真空态|0>，对应的总能量并不为0。这时的能量h=½h，这个值便被理解为真空态的涨落。
因此，用qed（quantum electrodynamics，量子电动力学）研究原子（或电子）和电磁场系统时，可以将对应于能量的哈密顿量写成几个部分之和：单独原子系统的哈密顿量，单独电磁场的哈密顿量，两者（原子和电磁场）相互作用的哈密顿量。如下图所示。
电磁场和原子（或电子）的哈密顿函数
式中λ的是相互作用常数，与精细结构常数（α=1/137）有关，数值应该很小。一般来说，我们只需要考虑相互作用哈密顿量中的1阶近似或2阶近似，就能得到与实验符合得不错的结果。然而，当考虑更高阶项，以为可以改进理论计算的精确度时，却经常得到无穷大发散的结果。
问题首先出现在1930年奥本海默发表的一篇论文中。他试图计算电子与电磁场之相互作用对原子中电子能级的影响［后来知道这是兰姆位移（lamb shift）］。奥本海默发现电子自能更像一个不收敛的序列，类似于：1 1 1 1 ……因此，量子场论最后计算结果预测的能级差异为无限大。
实际上，无穷大问题在经典电子学中也存在。例如，电子自能的无穷大是来源于电子的点粒子模型。经典物理中计算自身电荷产生的能量时，首先我们可以将电子当作一个半径 r 的小球，无论是将电荷均匀分布于球面上或球体中，当 r 趋近于0时，电子质量公式 m=e²/rc² 都会得到无穷大的电磁能。即当电子半径 r 趋于零时质量 m 趋于无穷。最后，经典电子论通过引进电子的有限半径（非点粒子）免除了这一发散。
惠勒（john archibald wheeler，1911 -2008）和费曼战前的文章，是根据超前-推迟势模型，经典地解决无穷大问题。他们也曾试图推广此方法用来解决量子场论中的无穷大自能问题，但最终没有成功。
这无穷大的结果困惑了物理学家多年，导致量子场论的研究停滞不前。那时，大家认为场论有根本性的问题，不是一个好的理论。因此，这个问题也激励人们提供新的观点来完善量子场论。
不过，那时的物理学家们正忙于别的事，因为二战已经开始了。
谢尔特岛会议
二战结束之后，物理学家们重新思考如何解决这个问题。有三次重要的会议与此有关。
1947年6月，在纽约州长岛东段的谢尔特小岛（shelter island）上，美国科学院专门召开会议，主题是量子力学与电子问题，实际上主要讨论当时物理中出现的突破性进展：物理学家威利斯•兰姆（willis eugene lamb，1913-2008）和同事用战争中发展的新兴微波技术测出的 “兰姆位移”及相关问题。
这是科学史上的一件盛事，虽然与会者仅有24位，但都是一流人物。
根据狄拉克方程计算，氢原子的2s（1/2）和2p（1/2）能级相同，可以简并。然而，兰姆探测后发现，这两个能级其实并不吻合，而是存在一个小小的能级差，好比梯级中这对本应一般高的台阶却有一个比另一个稍微高了一点。后来将此现象称为兰姆位移。
兰姆在谢尔特岛会议上作报告，图源[3]
威利斯·兰姆是生于洛杉矶的美国物理学家，1934年获得加州大学伯克莱分校化学学士学位，后来在罗伯特·奥本海默的指导下完成中子散射研究，他于1938年获得物理学博士学位。他测试了兰姆位移，并因此在1955年获得诺贝尔物理学奖。2008年，兰姆由于胆结石疾病的并发症去世，享年94岁。
谢尔特岛会议上，有费曼，还有另一位与费曼同龄的聪明年轻人——哈佛大学的美国理论物理学家朱利安·施温格（schwinger julian s，1918-1994）。施温格和费曼同年出生于纽约，家族是波兰籍的犹太裔，从事制衣行业。施温格从小聪慧过人，也是个有名的天才。施温格的生活习惯很奇怪，习惯白天打瞌睡睡懒觉，晚上起床学习和工作。不过，他是物理学家中出了名的硬算高手，对冗长繁难的笔算非常拿手。
伊西多·拉比（isidor rabi，1898-1988）是美国犹太人物理学家，他发现了核磁共振（nmr），并于1944年获得了诺贝尔物理学奖。施温格在纽约市立学院读本科时，被伊西多·拉比看中，后转至哥伦比亚大学学习。施温格于1939年获得博士学位，毕业后在伯克利加州大学和普渡大学任教。二战期间，施温格从事了有关雷达和加速器的研究。1945年出任哈佛大学教授，但后来因与同事不和，70年代离开哈佛至加州大学洛杉矶分校任教直至退休。施温格培养了多名优秀博士生，其中有4名获得了诺贝尔奖，此外还有布莱斯·德维特（bryce dewitt，1923-2004），他是量子引力的奠基人。
事实上，当年拉比也向谢尔特岛会议做了精确测量电子磁矩的报告，不过由于兰姆的工作而颇显黯淡，但不久后它在量子电动力学的发展中也扮演了重要的角色。
重整化（重正化）
在谢尔特岛会议之前，日本的朝永振一郎（sinitiro tomonaga，1906-1979）与他的日本同事已经解决了不少量子场论的问题，但因为战争的缘故，他们的工作不为美国科学家所知。在谢尔特岛会议上，施温格和费曼贡献了另外两种方法。
也就是在这次会议上，诞生了重整化（renormalization，也称重正化）的想法。
在介绍重整化之前，还应该提及一个所谓正规化（regularization）的方法。正规化是将产生发散的部分“截断”。很多情况下，无穷大是产生于量子场论中对从0到无限大的所有动量的积分。例如，电子自能的计算中，需要包括所有频率的电磁场的能量，k值大的部分积分引起无限大，如果将积分限制在某一个k以下，便能得到有限的结果。大的k值对应于小的空间范围，所以也可以说正规化就是将空间尺度限制在一定范围，例如，设定一项空间中最小距离d，略去（截断）那些太小（小于d）的尺度。
但正规化的方法引起许多质疑，例如，结果可能会与最小距离d有关，那么，到底应该从哪个距离d开始截断才能得到正确的答案？此外，除了截断值d之外，量子场论中的参数与物理测量值之间，还有许多含糊的概念。换言之，哪些参数是可以测量的？哪些参数无法测量？将这些想法综合起来，物理学家们产生了后来称之为重整化（renormalization）的思想。意思就是，是否有可能根据物理参数的实验值，通过重新定义某些参数（比如电荷、质量、耦合常数等），使得当正规化中的d趋近0的时候，计算结果收敛于一个与d无关的固定值。换言之，计算中的无穷大问题可能可以在重新定义的参数中被抵消。除此之外，物理学家们又进一步规定：如果一个理论中，只有有限多个参数需要被重新定义就能消除发散问题，这个理论就被认为是可以被重整化的，否则就是不能被重整化。例如，可以证明，qed是一个可以被重整化的理论。
实际上重正化的第一步想法应该归功于最有洞见的狄拉克，他在1933年8月写给玻尔的信中，提到电子的“有效电荷”：“佩尔斯（rudolf ernst peierls，1907-1995）和我一直在关注由静电场引起的负能量电子的分布变化问题。我们发现这种分布上的变化使得部分电荷中和 ……这些有效电荷在所有低能实验中都可以测的到，实验决定的电子电量应该和电子的有效电荷量一致……当这种mc²大小的能量开始起作用，人们可以期待一些公式的修正。”狄拉克的有效电荷就是我们测量到的电荷，他所说的真实电荷就是现在所说的“裸”电荷，即他信中所说“电荷的中和”就是电荷重正化。
除了裸电荷（bare charge）之外，还有裸粒子具有的裸质量或其他裸参数，“裸”的意思，是将所考虑的粒子设想成完全孤立，不和任何其它粒子（或场）发生相互作用的情况下它所具有的性质。但是不存在完全孤立的粒子，所以“裸”只有理论上的意义，没有观察效应。因此，我们并不真正知道这些裸参数的值。重整化的思想，是将这些裸参数假设为无穷大，并与使用微扰论时碰到的无穷大量同样级别增长且互相抵消。两者相消的结果，是具有真实物理意义的可测参数。
在谢尔特岛会议上，克拉默斯（hendrik anthony kramers，1894-1952）提出重新标准化（归一化）电子质量的建议，即质量重正化。也就是将裸质量设想成无穷大以抵消无穷大的粒子自能。电子与自身电磁场是不可分离的，从一开始就考虑其与电磁场的相互作用而增加的质量，即考虑实验质量，便不需要涉及电子的具体结构问题而克服发散困难。
四天的会议结束之后，贝特从纽约坐火车返回，途中仍然忘不了思考物理问题，干脆拿出纸笔，成功地完成了氢原子中电子能量的兰姆移位的第一次“重正化”计算。他把理论上能够通过重新定义电子的电荷e₀、质量m₀和场量ψ这些发散量，用重整化的方法吸收过去。经过重正化的处理后，各阶修正的结果都不再发散，计算的各阶辐射修正可以和实验进行比较；这一方法给出了兰姆移位的正确答案。
之后，在多位物理学家的努力下，重整化的方法和理论逐渐完善。应用重整化之后的量子电动力学，成为计算结果最精确的理论，根据它求出的电子和光子相互耦合的精细结构常数（fine-structure constant）的理论值，和试验的误差小于百亿分之3。因此，费曼后来把qed誉为“物理学的瑰宝”。
费曼对qed贡献最大的工作，要首推他的费曼图。我们将于下一次介绍。
注释：
[1]. 来自于wikipedia.
[2].https://albert.ias.edu/handle/20.500.12111/5304
[3].https://www.nature.com/articles/453867a
